Definizioni e simboli di teoria dei tratteggi

Questa pagina elenca i vari simboli che sono utilizzati nei nostri articoli di teoria dei tratteggi. Alcuni di essi sono stati definiti ad hoc per la teoria dei tratteggi, mentre altri sono già noti universalmente e vengono riportati qui per comodità di lettura.

Simbolo	Significato
$a \mathrm{\ mod\ } b$	Modulo: indica il resto della divisione tra $a$ e $b$ . Ad esempio, $20 \mathrm{\ mod\ } 7 = 6$ indica che la divisione tra 20 e 7 ha resto pari a 6. Il modulo ha priorità su addizioni e sottrazioni, mentre moltiplicazioni, divisioni e potenze hanno priorità su di esso. Quindi, data l’espressione seguente: $a + (b + c) x \mathrm{\ mod\ } d^2 + e$ l’ordine di esecuzione delle operazioni è: $a + (((b + c) x) \mathrm{\ mod\ } (d^2)) + e$
$a \mathrm{\ mod^{\star}\ } b$	Modulo Star: definito come $a \mathrm{\ mod^{\star}\ } b := \begin{cases} b & \text{se }a \mathrm{\ mod\ } b = 0 \\ a \mathrm{\ mod\ } b & \text{altrimenti} \end{cases}$ Si comporta come $a \mathrm{\ mod\ } b$ , ma restituisce $b$ al posto di 0. Ad esempio, se $b = 5$ : 1 $\mathrm{mod}$ 5 = 1 $\mathrm{mod^{\star}}$ 5 = 1; 2 $\mathrm{mod}$ 5 = 2 $\mathrm{mod^{\star}}$ 5 = 2; 3 $\mathrm{mod}$ 5 = 3 $\mathrm{mod^{\star}}$ 5 = 3; 4 $\mathrm{mod}$ 5 = 4 $\mathrm{mod^{\star}}$ 5 = 4; 5 $\mathrm{mod}$ 5 = 0; 5 $\mathrm{mod^{\star}}$ 5 = 5. Come il modulo, esso ha priorità solo su addizioni e sottrazioni.
$(C)$	Valore intero di una proposizione: definito come $(C) := \begin{cases} 1 &\text{se }C\text{ \`{e} vera}\\ 0 &\text{se }C\text{ \`{e} falsa}\end{cases}$ in cui $C$ è una proposizione. Ad esempio, $(a \gt 10)$ vale 1 se $a \gt 10$ , altrimenti vale 0.
$\sigma_i(x_1, x_2, ... x_j)$	Polinomi simmetrici elementari: definiti come $\sigma_0(x_1, x_2, x_3, x_4, \ldots, x_j) = 1$ $\sigma_1(x_1, x_2, x_3, x_4, \ldots, x_j) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + \ldots + x_j$ $\sigma_2(x_1, x_2, x_3, x_4, \ldots, x_j) = x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_3 + x_1 \cdot x_4 + \ldots + x_2 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_4 + \ldots + x_{j-1} \cdot x_j$ $\sigma_3(x_1, x_2, x_3, x_4, \ldots, x_j) = x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 + x_1 \cdot x_2 \cdot x_4 + \ldots + x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 + \ldots + x_{j-2} \cdot x_{j-1} \cdot x_j$ $\sigma_j(x_1, x_2, x_3, x_4, \ldots, x_j) = x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 \cdot \ldots \cdot x_j$ In generale, per calcolare $\sigma_i(x_1, x_2, ... x_j)$ si elencano tutte le combinazioni ad $i$ ad $i$ dei $j$ numeri dell’elenco, si trasforma ognuna di esse in un prodotto, e poi si sommano i prodotti così ottenuti: ad esempio, $\sigma_2(3, 5, 7) = 3 \cdot 5 + 3 \cdot 7 + 5 \cdot 7$ . Se $i$ è pari a zero, l’elenco diventa irrilevante, dato che il risultato è sempre 1. Allo stesso modo, per convenzione, si può porre il risultato pari a 1 anche quando l’elenco è vuoto, cioè $\sigma_i() = 1$ per ogni $i$ .
$[a, b]$	Intervallo: è l’insieme dei numeri interi compresi tra $a$ e $b$ : $[a,b] := \{n \in \mathbb{Z} \mid a \leq n \leq b\}$ . Il numero $b - a + 1$ , che coincide con la cardinalità dell’intervallo, si definisce ampiezza dell’intervallo. Si suppone $a \leq b$ .
$p, q$	Coi simboli $p$ e $q$ sono indicati dei numeri primi, salvo se specificato diversamente.
$p_i$	Col simbolo $p_i$ si indica l’ $i$ -esimo numero primo, con $i \geq 1$ , per cui $p_1 = 2$ , $p_2 = 3$ , $p_3 = 5$ , eccetera.
$q_i$	Col simbolo $q_i$ , con $i \geq 1$ , si indica un numero estratto da un elenco di numeri primi non necessariamente ordinato o completo. Ad esempio se l’elenco è 5, 17, 3, si pone $q_1 := 5$ , $q_2 := 17$ e $q_3 := 3$ .