La dimostrazione della congettura di Goldbach è uno dei più grandi problemi ancora irrisolti che riguardano i numeri primi. Inizialmente formulata nel 1742 dal matematico Christian Goldbach, dal quale prende il nome, è stata riformulata da Eulero nella forma in cui la conosciamo oggi:
Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi.
Nonostante l'evidenza empirica e la semplicità dell'enunciato, la congettura resiste a tutti i tentativi di dimostrazione da quasi tre secoli. Tuttavia, diversi matematici hanno dimostrato delle versioni della congettura meno forti.
In questo articolo vedremo una tecnica che consente di maggiorare o minorare un valore assunto da una funzione definita su numeri interi, mediante un opportuno integrale di una sua estensione monotona. Applicheremo questa tecnica ad una funzione di tipo logaritmico, ottenendo un lemma che ci sarà utile nel seguito.
In questo articolo vedremo come si arriva alla formula per il calcolo della funzione t_spazio per i tratteggi lineari di secondo ordine. Come abbiamo già fatto per le funzioni t e t_valore, seguiremo l'approccio del downcast, che nel caso di t_spazio risulta più semplice, trattandosi di una funzione down-conservativa. Vedremo dapprima una formula approssimata, che poi sarà modificata per ottenere quella esatta.
Per il calcolo del valore dell'x-esimo trattino in un tratteggio lineare di terzo ordine, si può procedere in maniera analoga al secondo ordine. Ora però abbiamo due possibilità: possiamo fare il downcast dal terzo ordine al secondo (cioè da T a T[i, j], dove T è il tratteggio dato), oppure direttamente dal terzo ordine al primo (cioè da T a T[i]).
In questo articolo analizziamo la somma degli inversi dei primi numeri interi positivi: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... . La teoria delle serie numeriche ci dice che si tratta di una serie divergente. Ciò significa che possiamo fissare qualsiasi numero positivo M e star certi che, per quanto grande sia M, calcolando nell'ordine le cosiddette somme parziali 1, 1 + 1/2, 1 + 1/2 + 1/3, ..., ad un certo punto lo supereremo. E se volessimo avere un'idea di quanto sono grandi queste somme parziali, man mano che il numero di termini aumenta?