La dimostrazione della congettura di Goldbach è uno dei più grandi problemi ancora irrisolti che riguardano i numeri primi. Inizialmente formulata nel 1742 dal matematico Christian Goldbach, dal quale prende il nome, è stata riformulata da Eulero nella forma in cui la conosciamo oggi:
Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi.
Nonostante l'evidenza empirica e la semplicità dell'enunciato, la congettura resiste a tutti i tentativi di dimostrazione da quasi tre secoli. Tuttavia, diversi matematici hanno dimostrato delle versioni della congettura meno forti.
In questo articolo raccoglieremo varie proprietà degli ordini asintotici che ci saranno utili negli articoli di teoria dei numeri.
In teoria dei numeri, molte dimostrazioni sono di tipo "tecnico", ossia consistono principalmente in una serie di passaggi di tipo algebrico, mediante i quali un'espressione iniziale viene ridotta in forme via via più semplici, fino a ricondurla a qualcosa di già noto. In questo articolo vedremo un paio di dimostrazioni di questo tipo, che ci daranno l'occasione di apprendere alcune tecniche riutilizzabili in altri contesti.
Nell'articolo precedente abbiamo introdotto un nuovo tipo di sommatoria, quella estesa ai divisori di un numero intero positivo. Le sommatorie di questo tipo sono usate spesso in teoria dei numeri, perciò conviene analizzarle più nel dettaglio. Il caso più interessante è quello delle doppie sommatorie estese ai divisori: vedremo che esse si possono scrivere in modi più semplici, soprattutto quando c'è in gioco la funzione di Möbius.
Le proprietà dei divisori dei numeri naturali che abbiamo visto nell’articolo precedente ci permettono di definire una funzione molto importante in teoria dei numeri, la funzione di Möbius, indicata col simbolo μ. Essa viene utilizzata spesso nelle sommatorie la cui variabile non varia tra un minimo e un massimo, ma assume come possibili valori tutti e soli i divisori positivi di un numero naturale.