La dimostrazione della congettura di Goldbach è uno dei più grandi problemi ancora irrisolti che riguardano i numeri primi. Inizialmente formulata nel 1742 dal matematico Christian Goldbach, dal quale prende il nome, è stata riformulata da Eulero nella forma in cui la conosciamo oggi:
Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi.
Nonostante l'evidenza empirica e la semplicità dell'enunciato, la congettura resiste a tutti i tentativi di dimostrazione da quasi tre secoli. Tuttavia, diversi matematici hanno dimostrato delle versioni della congettura meno forti.
In questo articolo raccoglieremo varie proprietà degli ordini asintotici che ci saranno utili negli articoli di teoria dei numeri.
Con questo articolo concluderemo la parte principale della dimostrazione del Teorema dei numeri primi, che si gioca tutta sulla relazione che intercorre tra le costanti α e β che sono state introdotte nell'articolo La media integrale e la funzione di errore assoluto R. Per il Lemma N.7, per dimostrare il Teorema dei numeri primi è sufficiente dimostrare che α = 0: in questo articolo ci avvicineremo a questo risultato.
Guardando all'indietro il percorso fatto finora, possiamo individuare un punto di svolta: è stato quando abbiamo introdotto l'Ipotesi N.1, che consiste in una disuguaglianza in cui è presente un integrale. A quel punto, per semplificare, abbiamo deciso di sostituire l'integrale con una sommatoria e da allora abbiamo lavorato sempre con le sommatorie, fino a dimostrare il Teorema di Selberg e alcune sue conseguenze. Ora è giunto il momento di ritornare alla forma integrale, per riallacciarci al discorso che ci ha condotto all'Ipotesi N.1, tentando di dimostrarla.
Dopo la digressione sulla funzione di Möbius degli ultimi tre articoli, torniamo alla dimostrazione del Teorema dei Numeri Primi. In questo articolo vedremo una delle parti più importanti della dimostrazione, che consiste nell'applicazione del Teorema di Selberg. Cercheremo di capire, tentando di ridurre al minimo i tecnicismi, perché questo Teorema riveste un ruolo così importante nella dimostrazione del Teorema dei Numeri Primi.
In teoria dei numeri, molte dimostrazioni sono di tipo "tecnico", ossia consistono principalmente in una serie di passaggi di tipo algebrico, mediante i quali un'espressione iniziale viene ridotta in forme via via più semplici, fino a ricondurla a qualcosa di già noto. In questo articolo vedremo un paio di dimostrazioni di questo tipo, che ci daranno l'occasione di apprendere alcune tecniche riutilizzabili in altri contesti.