La dimostrazione della congettura di Goldbach è uno dei più grandi problemi ancora irrisolti che riguardano i numeri primi. Inizialmente formulata nel 1742 dal matematico Christian Goldbach, dal quale prende il nome, è stata riformulata da Eulero nella forma in cui la conosciamo oggi:
Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi.
Nonostante l'evidenza empirica e la semplicità dell'enunciato, la congettura resiste a tutti i tentativi di dimostrazione da quasi tre secoli. Tuttavia, diversi matematici hanno dimostrato delle versioni della congettura meno forti.
L'antefatto Europa, XVIII secolo. Mentre le potenze occidentali erano tutto un fiorire di industrie, scambi culturali e scoperte scientifiche, l'impero russo era sempre un passo indietro, con un'industria che era poco più che artigianato, un'economia feudale, e un'istruzione pubblica che non era neanche degna di questo nome. Ma il nuovo zar Pietro il Grande, dopo aver girato l'Europa in cerca di alleati contro i Turchi che minacciavano i confini meridionali, ebbe modo di vedere con i suoi occhi questo abissale divario, e decise che era venuto il momento della svolta. Avviò fin da subito una grande campagna riformatrice, che rivoltò…
Le proprietà dei divisori dei numeri naturali che abbiamo visto nell’articolo precedente ci permettono di definire una funzione molto importante in teoria dei numeri, la funzione di Möbius, indicata col simbolo μ. Essa viene utilizzata spesso nelle sommatorie la cui variabile non varia tra un minimo e un massimo, ma assume come possibili valori tutti e soli i divisori positivi di un numero naturale.
In questo articolo parleremo di una proprietà di tipo ricorsivo, che vale per tutti i tratteggi lineari con componenti a due a due coprime. Dato un tratteggio T di questo tipo, vedremo che ogni suo sottotratteggio proprio T' può essere ritrovato "immerso" in T; inoltre, ricorsivamente, anche ogni sottotratteggio proprio T'' di T' può essere ritrovato "immerso" in T', e così via.
In questo articolo presenteremo due proprietà dei divisori dei numeri naturali, iniziando dal caso più semplice, in cui prenderemo in considerazione i numeri che sono il prodotto di due fattori primi distinti. Prendiamo ad esempio il numero 10, che è il prodotto di 2 per 5. Quindi gli unici suoi divisori non banali, ossia diversi dal numero stesso e da 1, sono proprio 2 e 5. Si può osservare che il numero dei divisori banali (1 e 10) è uguale al numero di quelli non banali (2 e 5), ed anche il loro prodotto è uguale: 1 * 10 =…