La dimostrazione della congettura di Goldbach è uno dei più grandi problemi ancora irrisolti che riguardano i numeri primi. Inizialmente formulata nel 1742 dal matematico Christian Goldbach, dal quale prende il nome, è stata riformulata da Eulero nella forma in cui la conosciamo oggi:
Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi.
Nonostante l'evidenza empirica e la semplicità dell'enunciato, la congettura resiste a tutti i tentativi di dimostrazione da quasi tre secoli. Tuttavia, diversi matematici hanno dimostrato delle versioni della congettura meno forti.
L'antefatto Europa, XVIII secolo. Mentre le potenze occidentali erano tutto un fiorire di industrie, scambi culturali e scoperte scientifiche, l'impero russo era sempre un passo indietro, con un'industria che era poco più che artigianato, un'economia feudale, e un'istruzione pubblica che non era neanche degna di questo nome. Ma il nuovo zar Pietro il Grande, dopo aver girato l'Europa in cerca di alleati contro i Turchi che minacciavano i confini meridionali, ebbe modo di vedere con i suoi occhi questo abissale divario, e decise che era venuto il momento della svolta. Avviò fin da subito una grande campagna riformatrice, che rivoltò…
In questo articolo parleremo di una proprietà di tipo ricorsivo, che vale per tutti i tratteggi lineari con componenti a due a due coprime. Dato un tratteggio T di questo tipo, vedremo che ogni suo sottotratteggio proprio T' può essere ritrovato "immerso" in T; inoltre, ricorsivamente, anche ogni sottotratteggio proprio T'' di T' può essere ritrovato "immerso" in T', e così via.
In questo articolo applicheremo il Teorema della media integrale per trasformare ciò che sappiamo sull'integrale della funzione V in una conoscenza sui valori assunti dalla funzione, per poter dimostrare la condizione sufficiente per il Teorema dei Numeri Primi, ossia che lim sup |V(u)| = 0. I nostri calcoli ci porteranno ad introdurre una nuova funzione R che rappresenta un errore assoluto, a differenza delle funzioni V e W che rappresentano degli errori relativi.
L'idea generale della dimostrazione del Teorema dei Numeri Primi consiste nel partire dalla dimostrazione del Teorema di Chebyshev (versione forte), riutilizzandone le parti salienti al fine di dimostrare la parte mancante, ossia l'esistenza del limite. Possiamo quindi vedere il Teorema di Chebyshev come una tappa intermedia, una fonte di ispirazione per arrivare al Teorema dei Numeri Primi.