La dimostrazione della congettura di Goldbach è uno dei più grandi problemi ancora irrisolti che riguardano i numeri primi. Inizialmente formulata nel 1742 dal matematico Christian Goldbach, dal quale prende il nome, è stata riformulata da Eulero nella forma in cui la conosciamo oggi:
Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi.
Nonostante l'evidenza empirica e la semplicità dell'enunciato, la congettura resiste a tutti i tentativi di dimostrazione da quasi tre secoli. Tuttavia, diversi matematici hanno dimostrato delle versioni della congettura meno forti.
In questo articolo raccoglieremo varie proprietà degli ordini asintotici che ci saranno utili negli articoli di teoria dei numeri.
Dopo la digressione sulla funzione di Möbius degli ultimi tre articoli, torniamo alla dimostrazione del Teorema dei Numeri Primi. In questo articolo vedremo una delle parti più importanti della dimostrazione, che consiste nell'applicazione del Teorema di Selberg. Cercheremo di capire, tentando di ridurre al minimo i tecnicismi, perché questo Teorema riveste un ruolo così importante nella dimostrazione del Teorema dei Numeri Primi.
In teoria dei numeri, molte dimostrazioni sono di tipo "tecnico", ossia consistono principalmente in una serie di passaggi di tipo algebrico, mediante i quali un'espressione iniziale viene ridotta in forme via via più semplici, fino a ricondurla a qualcosa di già noto. In questo articolo vedremo un paio di dimostrazioni di questo tipo, che ci daranno l'occasione di apprendere alcune tecniche riutilizzabili in altri contesti.
Nell'articolo Alcune sommatorie importanti abbiamo introdotto le sommatorie estese a coppie di variabili il cui prodotto divide una costante (Definizione N.21); ora vedremo come la funzione di Möbius permette di semplificare questo tipo di sommatorie. Otterremo alla fine una formula molto importante, detta formula di inversione di Möbius.