La dimostrazione della congettura di Goldbach è uno dei più grandi problemi ancora irrisolti che riguardano i numeri primi. Inizialmente formulata nel 1742 dal matematico Christian Goldbach, dal quale prende il nome, è stata riformulata da Eulero nella forma in cui la conosciamo oggi:
Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi.
Nonostante l'evidenza empirica e la semplicità dell'enunciato, la congettura resiste a tutti i tentativi di dimostrazione da quasi tre secoli. Tuttavia, diversi matematici hanno dimostrato delle versioni della congettura meno forti.
In teoria dei numeri, per capire alcune dimostrazioni, è necessaria una certa familiarità col concetto di ''serie numerica''. In questo articolo, dopo aver introdotto brevemente questo concetto, ci soffermeremo su alcune serie utilizzate in teoria dei numeri, che non sempre vengono studiate a scuola o all'università; vedremo in particolare alcune tecniche utili nella pratica per operare con tali serie. Questo articolo non ha la pretesa di trattare le serie numeriche in modo rigoroso, né in modo esaustivo, ma può essere visto come uno studio complementare per chi ha già studiato le serie, e come spunto di approfondimento per chi non…
Abbiamo visto che, grazie al crivello di Selberg, si può calcolare una stima di una funzione di crivello; tale stima è costituita da un termine T che rappresenta l'approssimazione della funzione, e da un termine R che rappresenta l'errore. Nell'articolo precedente abbiamo calcolato i parametri λ che rendono la parte T più bassa possibile. Ora non resta che sostituire questi valori dei parametri nella funzione di errore R: questo sarà lo scopo del presente articolo.
Come abbiamo visto, nella formula del crivello di Selberg compaiono dei parametri λd, che vengono utilizzati sia nella stima della funzione di crivello che nel relativo termine di errore. In questo articolo calcoleremo questi parametri in modo da ottenere una stima più bassa possibile.
In quest’articolo cominceremo a entrare nel vivo della teoria dei crivelli, analizzando nel dettaglio il cosiddetto “crivello di Selberg”. Non si tratta, in realtà di un nuovo crivello (paragonabile ad esempio a quello di Eratostene); il crivello (inteso come funzione) è sempre quello generale, è la sua maggiorazione che è di Selberg. In sintesi, possiamo dire che il crivello di Selberg è un modo di maggiorare una funzione di crivello con una funzione semplice da calcolare, composta da due termini: una stima e un termine di errore.
In questo articolo tratteremo le funzioni aritmetiche, ossia le funzioni definite sui numeri interi positivi (il cui valore, però, può non essere intero). Alcune funzioni aritmetiche sono ben note e ricorrenti in teoria dei numeri, e le abbiamo introdotte nei nostri articoli all'occorrenza. Qui riepilogheremo le loro definizioni e poi vedremo alcune loro proprietà che potenzialmente possono essere di uso comune, anche per quanto riguarda le tecniche utilizzate in alcune dimostrazioni.