La dimostrazione della congettura di Goldbach è uno dei più grandi problemi ancora irrisolti che riguardano i numeri primi. Inizialmente formulata nel 1742 dal matematico Christian Goldbach, dal quale prende il nome, è stata riformulata da Eulero nella forma in cui la conosciamo oggi:
Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi.
Nonostante l'evidenza empirica e la semplicità dell'enunciato, la congettura resiste a tutti i tentativi di dimostrazione da quasi tre secoli. Tuttavia, diversi matematici hanno dimostrato delle versioni della congettura meno forti.
Esaminando una tavola dei numeri primi, è molto semplice notare come la loro distribuzione sembra sfuggire a qualsiasi regolarità; è più difficile invece osservare come dietro questa apparente irregolarità si celi un ordine ben preciso. Quest'ordine è dato dal Teorema dei numeri primi. La dimostrazione di questo teorema infatti è interessante di per sé, anche dal punto di vista storico.
In questo articolo torneremo sul Teorema di Chebyshev, secondo cui la funzione π(x), che calcola il numero di numeri primi minori o uguali ad un intero positivo x, ha lo stesso ordine di grandezza di x/(log x). Vedremo che non solo le due funzioni hanno lo stesso ordine di grandezza, ma anche che, se esiste un limite per il loro rapporto, questo limite deve essere 1.
In questo articolo vedremo due concetti di analisi matematica che ci serviranno in teoria dei numeri: il limite inferiore (lim inf) ed il limite superiore (lim sup) di una successione. Vedremo che essi possono essere definiti partendo dallo studio degli intervalli che contengono tutti, o quasi tutti, i termini della successione.
Quasi certamente conoscete già la funzione fattoriale, indicata con x!, che si legge "x fattoriale" e per un intero x > 0 consiste nel prodotto di tutti i numeri interi positivi fino ad x. In questo articolo studieremo questa funzione, che ricorre spesso in teoria dei numeri, da due diversi punti di vista: dapprima ne studieremo l'ordine di grandezza; successivamente scomporremo il prodotto x! in modo da evidenziare i fattori primi che lo compongono.