La Congettura di Goldbach

La dimostrazione della congettura di Goldbach è uno dei più grandi problemi ancora irrisolti che riguardano i numeri primi. Inizialmente formulata nel 1742 dal matematico Christian Goldbach, dal quale prende il nome, è stata riformulata da Eulero nella forma in cui la conosciamo oggi:

Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi.

Nonostante l'evidenza empirica e la semplicità dell'enunciato, la congettura resiste a tutti i tentativi di dimostrazione da quasi tre secoli. Tuttavia, diversi matematici hanno dimostrato delle versioni della congettura meno forti.

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Alcuni risultati importanti

L'affermazione formulata da Christian Goldbach è una "congettura", quindi, in linea di principio, si tratta di un'ipotesi. Ciò vuol dire che potrebbe essere:
  • Vera, ossia tutti i numeri pari maggiori di 2 sono esprimibili come somma di due numeri primi;
  • Falsa, ossia esiste almeno un numero pari maggiore di 2 che non si può scrivere come somma di due numeri primi.
Entrambe le ipotesi sono aperte, e studiosi da tutto il mondo stanno seguendo diverse strade per riuscire a trovare una soluzione per quello che è diventato a tutti gli effetti un enigma...
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Le nostre strategie dimostrative

Attualmente esistono diversi tentativi di dimostrazione della congettura di Goldbach, che sono completi, nel senso che arrivano alla conclusione, ma contengono una serie di problemi, per cui non sono stati considerati validi dalla comunità internazionale. Noi proponiamo invece alcune strategie dimostrative, che sono ancora lungi dal diventare dimostrazioni complete, ma già contengono dei risultati intermedi interessanti e finora non confutati. Speriamo che questo materiale possa costituire un utile spunto per chi si è messo, come noi, alla ricerca della dimostrazione...
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Alcuni risultati importanti

L'affermazione formulata da Christian Goldbach è una "congettura", quindi, in linea di principio, si tratta di un'ipotesi. Ciò vuol dire che potrebbe essere:
  • Vera, ossia tutti i numeri pari maggiori di 2 sono esprimibili come somma di due numeri primi;
  • Falsa, ossia esiste almeno un numero pari maggiore di 2 che non si può scrivere come somma di due numeri primi.
Entrambe le ipotesi sono aperte, e studiosi da tutto il mondo stanno seguendo diverse strade per riuscire a trovare una soluzione per quello che è diventato a tutti gli effetti un enigma...
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Le nostre strategie dimostrative

Attualmente esistono diversi tentativi di dimostrazione della congettura di Goldbach, che sono completi, nel senso che arrivano alla conclusione, ma contengono una serie di problemi, per cui non sono stati considerati validi dalla comunità internazionale. Noi proponiamo invece alcune strategie dimostrative, che sono ancora lungi dal diventare dimostrazioni complete, ma già contengono dei risultati intermedi interessanti e finora non confutati. Speriamo che questo materiale possa costituire un utile spunto per chi si è messo, come noi, alla ricerca della dimostrazione...
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Teoria dei numeri

La congettura di Goldbach si colloca nell'ambito della Teoria dei numeri, la branca della matematica che studia i numeri interi. Per comprendere le dimostrazioni dei risultati simili alla congettura, e molto probabilmente anche per dimostrare la congettura stessa, sono richieste solide conoscenze di teoria dei numeri. Queste conoscenze, però, raramente entrano a par parte del curriculum di studi di un matematico...
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Teoria dei tratteggi

La teoria dei tratteggi è una nuova teoria matematica che studia il rapporto tra la successione dei numeri naturali e la loro relazione di divisibilità. Problemi tipici sono il calcolo dell'n-esimo numero naturale divisibile per almeno uno di k numeri fissati, o non divisibile per alcuno di essi. Per tale natura, la teoria si presta allo studio dei numeri primi mediante un approccio costruttivo, ispirato al crivello di Eratostene...
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Teoria dei numeri

La congettura di Goldbach si colloca nell'ambito della Teoria dei numeri, la branca della matematica che studia i numeri interi. Per comprendere le dimostrazioni dei risultati simili alla congettura, e molto probabilmente anche per dimostrare la congettura stessa, sono richieste solide conoscenze di teoria dei numeri. Queste conoscenze, però, raramente entrano a par parte del curriculum di studi di un matematico...
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Teoria dei tratteggi

La teoria dei tratteggi è una nuova teoria matematica che studia il rapporto tra la successione dei numeri naturali e la loro relazione di divisibilità. Problemi tipici sono il calcolo dell'n-esimo numero naturale divisibile per almeno uno di k numeri fissati, o non divisibile per alcuno di essi. Per tale natura, la teoria si presta allo studio dei numeri primi mediante un approccio costruttivo, ispirato al crivello di Eratostene...
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Lavori in corso!

Il nostro progetto, per come è stato concepito fin dall'origine, è molto ampio perché comprende sia una parte di ricerca che una di divulgazione. Di solito o si fa una cosa o si fa l'altra; il nostro intento, invece, è portarle avanti entrambe. Negli ultimi due anni abbiamo spinto molto sulla parte di divulgazione (rivolta ad un pubblico con un certo livello di istruzione, parliamo di studenti del primo anno di università). Abbiamo concluso la dimostrazione del Teorema dei numeri primi, che ci ha permesso di introdurre alcuni concetti di teoria dei numeri e mostrare fino a che punto possono spingersi le tecniche cosiddette "elementari". La scrittura di questi articoli però ci ha distolto dalla parte di ricerca, che attualmente è un po' abbozzata. Abbiamo quindi deciso, per l'immediato futuro, di riscrivere questa parte, organizzandola meglio e inserendo delle introduzioni che siano comprensibili anche per chi non conosce la teoria dei tratteggi; anche la pagina dei premi, seppur di valore abbastanza simbolico, sarà semplificata di conseguenza. Stiamo preparando quindi questi cambiamenti, che saranno pubblicati tutti insieme, trattandosi di pagine fortemente collegate tra loro. Nel contempo, alcune delle nostre ricerche non sono state ancora pubblicate e desideriamo farlo, per cui oltre a una revisione delle pagine esistenti ci saranno anche delle aggiunte. Infine, una delle nostre linee di ricerca è tuttora in fase di approfondimento: in questo modo speriamo di produrre del materiale interessante da pubblicare in futuro.

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