La dimostrazione della congettura di Goldbach è uno dei più grandi problemi ancora irrisolti che riguardano i numeri primi. Inizialmente formulata nel 1742 dal matematico Christian Goldbach, dal quale prende il nome, è stata riformulata da Eulero nella forma in cui la conosciamo oggi:
Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi.
Nonostante l'evidenza empirica e la semplicità dell'enunciato, la congettura resiste a tutti i tentativi di dimostrazione da quasi tre secoli. Tuttavia, diversi matematici hanno dimostrato delle versioni della congettura meno forti.
In questo articolo parleremo di una proprietà di tipo ricorsivo, che vale per tutti i tratteggi lineari con componenti a due a due coprime. Dato un tratteggio T di questo tipo, vedremo che ogni suo sottotratteggio proprio T' può essere ritrovato "immerso" in T; inoltre, ricorsivamente, anche ogni sottotratteggio proprio T'' di T' può essere ritrovato "immerso" in T', e così via.
Esaminando una tavola dei numeri primi, è molto semplice notare come la loro distribuzione sembra sfuggire a qualsiasi regolarità; è più difficile invece osservare come dietro questa apparente irregolarità si celi un ordine ben preciso. Quest'ordine è dato dal Teorema dei numeri primi. La dimostrazione di questo teorema infatti è interessante di per sé, anche dal punto di vista storico.
In questo articolo torneremo sul Teorema di Chebyshev, secondo cui la funzione π(x), che calcola il numero di numeri primi minori o uguali ad un intero positivo x, ha lo stesso ordine di grandezza di x/(log x). Vedremo che non solo le due funzioni hanno lo stesso ordine di grandezza, ma anche che, se esiste un limite per il loro rapporto, questo limite deve essere 1.
In questo articolo vedremo due concetti di analisi matematica che ci serviranno in teoria dei numeri: il limite inferiore (lim inf) ed il limite superiore (lim sup) di una successione. Vedremo che essi possono essere definiti partendo dallo studio degli intervalli che contengono tutti, o quasi tutti, i termini della successione.