La dimostrazione della congettura di Goldbach è uno dei più grandi problemi ancora irrisolti che riguardano i numeri primi. Inizialmente formulata nel 1742 dal matematico Christian Goldbach, dal quale prende il nome, è stata riformulata da Eulero nella forma in cui la conosciamo oggi:
Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi.
Nonostante l'evidenza empirica e la semplicità dell'enunciato, la congettura resiste a tutti i tentativi di dimostrazione da quasi tre secoli. Tuttavia, diversi matematici hanno dimostrato delle versioni della congettura meno forti.
Per il calcolo del valore dell'x-esimo trattino in un tratteggio lineare di terzo ordine, si può procedere in maniera analoga al secondo ordine. Ora però abbiamo due possibilità: possiamo fare il downcast dal terzo ordine al secondo (cioè da T a T[i, j], dove T è il tratteggio dato), oppure direttamente dal terzo ordine al primo (cioè da T a T[i]).
In questo articolo vedremo due concetti di analisi matematica che ci serviranno in teoria dei numeri: il limite inferiore (lim inf) ed il limite superiore (lim sup) di una successione. Vedremo che essi possono essere definiti partendo dallo studio degli intervalli che contengono tutti, o quasi tutti, i termini della successione.
Quasi certamente conoscete già la funzione fattoriale, indicata con x!, che si legge "x fattoriale" e per un intero x > 0 consiste nel prodotto di tutti i numeri interi positivi fino ad x. In questo articolo studieremo questa funzione, che ricorre spesso in teoria dei numeri, da due diversi punti di vista: dapprima ne studieremo l'ordine di grandezza; successivamente scomporremo il prodotto x! in modo da evidenziare i fattori primi che lo compongono.
In questo articolo vedremo una tecnica che consente di maggiorare o minorare un valore assunto da una funzione definita su numeri interi, mediante un opportuno integrale di una sua estensione monotona. Applicheremo questa tecnica ad una funzione di tipo logaritmico, ottenendo un lemma che ci sarà utile nel seguito.