Strategia dimostrativa basata sugli spazi

Prerequisito:

La strategia dimostrativa che sarà esposta qui ha come obiettivo la dimostrazione dell’Ipotesi H.1 (Congettura di Goldbach applicata ai tratteggi) mediante le proprietà degli spazi. Abbiamo individuato due metodi diversi per fare ciò:

  • Un metodo che fa uso di una formula per il calcolo esplicito della funzione \mathrm{t\_spazio};
  • Un metodo che fa uso del concetto di massima distanza tra spazi consecutivi.

Entrambi hanno come punto di partenza una riformulazione dell’Ipotesi H.1, diversa da un caso all’altro.

Metodo basato sul calcolo esplicito della funzione \mathrm{t\_spazio}

Partendo dall’Ipotesi H.1, è possibile utilizzare la funzione \mathrm{t\_spazio} per riscrivere i due spazi incogniti p e q rispettivamente come \mathrm{t\_spazio}(x) e \mathrm{t\_spazio}(y). Si ottiene così la seguente Ipotesi, nella quale le incognite non sono più p e q, ma x e y:

Ipotesi di esistenza di coppie di Goldbach basata sulla funzione \mathrm{t\_spazio}

Siano 2n \gt 4 un numero pari, e k il relativo ordine di validità. Allora esistono due interi positivi x e y tali che, con riferimento al tratteggio T_k:

  • \mathrm{t\_spazio}(x) e \mathrm{t\_spazio}(y) sono entrambi compresi nell’intervallo di validità;
  • \mathrm{t\_spazio}(x) + \mathrm{t\_spazio}(y) = 2n.

Questo metodo, quindi, consiste nel dimostrare che l’equazione \mathrm{t\_spazio}(x) + \mathrm{t\_spazio}(y) = 2n ha almeno una soluzione (x, y), per ogni 2n \gt 4. Chiameremo questa equazione equazione di Goldbach sugli spazi:

Equazione di Goldbach sugli spazi

Siano 2n \gt 4 un numero pari, e k il relativo ordine di validità. Allora la seguente equazione nelle incognite x e y, che si riferisce al tratteggio T_k:

\mathrm{t\_spazio}(x) + \mathrm{t\_spazio}(y) = 2n

è detta equazione di Goldbach sugli spazi.

La seguente immagine rappresenta graficamente questo metodo risolutivo, sulla base di un esempio:

Figura 1: Strategia dimostrativa basata sugli spazi – metodo basato sul calcolo esplicito della funzione t_spazio
La funzione \mathrm{t\_spazio} è riferita al tratteggio T_k, dove k dipende da 2n come indicato nella Definizione L.2 (Ordine, tratteggio ed intervallo di validità). Più precisamente, si potrebbe scrivere \mathrm{t\_spazio}_{T_k}(x) e \mathrm{t\_spazio}_{T_k}(y), ma per brevità si scriverà, come nell’Ipotesi H.1.S, \mathrm{t\_spazio}(x) e \mathrm{t\_spazio}(y), indicando preventivamente il tratteggio di riferimento.

I problemi da risolvere per giungere all’obiettivo sono essenzialmente i seguenti:

  • Trovare una formula per calcolare la funzione \mathrm{t\_spazio} per tratteggi lineari di ordine qualsiasi (anche se basterebbe trattare il caso dei tratteggi T_k, per qualsiasi k);
  • Riscrivere l’equazione di Goldbach sugli spazi, usando la formula trovata;
  • Dimostrare che l’equazione così riscritta ha delle soluzioni;
  • Dimostrare che, per almeno una delle soluzioni (x, y) individuate, i relativi valori di \mathrm{t\_spazio}(x) e \mathrm{t\_spazio}(y) si trovano nell’intervallo di validità.

Alla fine si potrebbe applicare la Proprietà T.1 (spazi e numeri primi), che ci assicura che tutti gli spazi nell’intervallo di validità sono anche numeri primi, per affermare che le soluzioni così trovate sono anche coppie di Goldbach, il che completerebbe la dimostrazione della congettura.

Attualmente non abbiamo ancora trovato una formula per calcolare \mathrm{t\_spazio} per ordini arbitrari, si tratta di uno studio che è ancora in corso. Tuttavia, ci sono già dei risultati parziali: la formula per tratteggi lineari di secondo ordine, ad esempio, è già nota. Per riuscire a trovare una formula universale, bisogna tentare di arrivare al terzo ordine e ai successivi. Tuttavia, questa parte della teoria dei tratteggi è ancora in gran parte inesplorata, perché, quando l’ordine diventa alto, i tratteggi diventano più complicati da studiare, ed anche trovare delle formule che ne descrivono le proprietà diventa più difficile. Perciò la ricerca di una formula per \mathrm{t\_spazio} che sia valida per tratteggi lineari di ordine qualsiasi è un problema ancora aperto, ed è trattato in una pagina dedicata.

Metodo basato sul concetto di massima distanza tra spazi consecutivi

Sarebbe molto più semplice risolvere l’Ipotesi H.1, se invece di trovare i due spazi p e q bastasse trovare solo uno dei due, diciamo p. Questo sarebbe possibile se esistesse un meccanismo per garantire che l’intero q = 2n - p sia a sua volta uno spazio, senza porre questa condizione in modo esplicito. Questo meccanismo esiste, e si basa sull’uso di un tratteggio un po’ più complicato del tratteggio T_k dell’Ipotesi H.1. Vediamo come funziona.

Il principio di base consiste nel limitare le scelte possibili di p, identificando delle condizioni che garantiscano che anche q sia uno spazio; per trovare queste condizioni, si può partire dalla definizione di spazio. Se q deve essere uno spazio, allora non deve essere divisibile per nessuna componente del tratteggio, che nell’Ipotesi H.1 è T_k, pertanto q non deve essere divisibile per p_1, \ldots, p_k, quindi q \mathrm{\ mod\ } p_i deve essere diverso da 0, per ogni i=1,\ldots,k. L’aspetto interessante è che questa condizione su q, grazie all’equazione di Goldbach che lega p e q, può essere trasformata in una condizione simile su p. Questo segue da una proprietà generale dei numeri interi, espressa dal seguente Lemma:

Relazione tra i moduli di due interi positivi e quello della loro somma

Siano a, b ed m tre interi positivi. Allora

a \mathrm{\ mod\ } m = 0 \Leftrightarrow b \mathrm{\ mod\ } m = (a + b) \mathrm{\ mod\ } m \tag{1}
Indichiamo con h la somma di a e b:

a + b = h

Indichiamo con a^{\prime}, b^{\prime} ed h^{\prime}, rispettivamente, i quozienti della divisione di a, b ed h per m, per cui a = ma^{\prime} + a \mathrm{\ mod\ } m, b = mb^{\prime} + b \mathrm{\ mod\ } m ed h = mh^{\prime} + h \mathrm{\ mod\ } m. Sostituendo nella (1) si ha che:

ma^{\prime} + a \mathrm{\ mod\ } m + mb^{\prime} + b \mathrm{\ mod\ } m = mh^{\prime} + h \mathrm{\ mod\ } m

Separando i moduli dagli altri termini e mettendo in evidenza m, si ottiene:

m (a^{\prime} + b^{\prime} - h^{\prime}) = h \mathrm{\ mod\ } m - a \mathrm{\ mod\ } m - b \mathrm{\ mod\ } m \tag{2}

Se a \mathrm{\ mod\ } m = 0, si ottiene:

m (a^{\prime} + b^{\prime} - h^{\prime}) = h \mathrm{\ mod\ } m - b \mathrm{\ mod\ } m

In particolare h \mathrm{\ mod\ } m - b \mathrm{\ mod\ } m è un multiplo di m. Ma h \mathrm{\ mod\ } m e b \mathrm{\ mod\ } m, per definizione di modulo, sono entrambi minori di m, per cui la loro differenza può variare da un minimo di -(m - 1) (quando h \mathrm{\ mod\ } m = 0 e b \mathrm{\ mod\ } m = m - 1) ad un massimo di m - 1 (quando h \mathrm{\ mod\ } m = m - 1 e b \mathrm{\ mod\ } m = 0). Allora l’unico multiplo di m a cui può essere uguale la differenza h \mathrm{\ mod\ } m - b \mathrm{\ mod\ } m è 0, quindi b \mathrm{\ mod\ } m = h \mathrm{\ mod\ } m. Ma h = a + b, per cui b \mathrm{\ mod\ } m = (a + b) \mathrm{\ mod\ } m. Così abbiamo dimostrato l’implicazione verso destra.

Per quanto riguarda l’altra implicazione, supponendo che b \mathrm{\ mod\ } m = (a + b) \mathrm{\ mod\ } m = h \mathrm{\ mod\ } m, sostituendo nella (2) si ottiene:

m (a^{\prime} + b^{\prime} - h^{\prime}) = - a \mathrm{\ mod\ } m

In particolare a \mathrm{\ mod\ } m è un multiplo di m; ma essendo, per definizione di modulo, compreso tra 0 ed m - 1, non può che essere uguale a zero. Così anche l’implicazione verso sinistra risulta dimostrata.

Applicando il Lemma L.1 nel nostro caso, con a := q, b := p ed m := p_i, e ricordando che p + q = 2n, si ottiene:

q \mathrm{\ mod\ } p_i = 0 \Leftrightarrow p \mathrm{\ mod\ } p_i = 2n \mathrm{\ mod\ } p_i

Da cui, per negazione, si ottiene:

q \mathrm{\ mod\ } p_i \neq 0 \Leftrightarrow p \mathrm{\ mod\ } p_i \neq 2n \mathrm{\ mod\ } p_i

E questo vale per ogni componente p_i, perché non si è fatta nessuna ipotesi particolare su quale componente scegliere. Ciò significa che la condizione che q sia uno spazio, ossia:

\begin{cases} q \mathrm{\ mod\ } p_1 \neq 0 \\ \ldots \\ q \mathrm{\ mod\ } p_k \neq 0 \end{cases}

è equivalente alla seguente:

\begin{cases} p \mathrm{\ mod\ } p_1 \neq 2n \mathrm{\ mod\ } p_1 \\ \ldots \\ p \mathrm{\ mod\ } p_k \neq 2n \mathrm{\ mod\ } p_k \end{cases} \tag{3}

La condizione che q sia uno spazio è stata quindi tradotta in una condizione equivalente su p. In questo modo ci si può concentrare solo sulla singola variabile p.
Tornando all’Ipotesi H.1, bisogna considerare che anche p deve essere uno spazio; quindi, ricapitolando, p deve soddisfare due condizioni:

  • Deve essere uno spazio;
  • Deve essere tale che anche q = 2n - p sia uno spazio.

La prima condizione si può scrivere come è stato già fatto per q:

\begin{cases} p \mathrm{\ mod\ } p_1 \neq 0 \\ \ldots \\ p \mathrm{\ mod\ } p_k \neq 0 \end{cases} \tag{4}

La seconda condizione, come si è visto, è data dalla (3). Mettendo insieme le formule (3) e (4), si ottiene la formula seguente:

\begin{cases} p \mathrm{\ mod\ } p_1 \notin \{0, 2n \mathrm{\ mod\ } p_1\} \\ \ldots \\ p \mathrm{\ mod\ } p_k \notin \{0, 2n \mathrm{\ mod\ } p_k\} \end{cases}

Si può osservare che p_1 = 2, per cui, nella prima riga, si ha 2n \mathrm{\ mod\ } p_1 = 2n \mathrm{\ mod\ } 2 = 0; quindi l’insieme \{0, 2n \mathrm{\ mod\ } p_1\} è costituito in realtà dal solo numero 0. Si può esplicitare questa condizione separando la prima riga dalle successive, ottenendo:

\begin{cases} p \mathrm{\ mod\ } p_1 \neq 0 \\ p \mathrm{\ mod\ } p_2 \notin \{0, 2n \mathrm{\ mod\ } p_2\} \\ \ldots \\ p \mathrm{\ mod\ } p_k \notin \{0, 2n \mathrm{\ mod\ } p_k\} \end{cases} \tag{5}

Per le righe relative a p_2, \ldots, p_k si potrebbe verificare la stessa situazione della prima: per una generica componente p_i, per i = 2, \ldots, k, 2n \mathrm{\ mod\ } p_i potrebbe essere 0 e quindi l’insieme \{0, 2n \mathrm{\ mod\ } p_i\} potrebbe ridursi al solo elemento 0. Questo è possibile, ma non sempre vero in generale come invece accade per la prima riga.

Sulla base dei passaggi sopra esposti si può dimostrare la seguente Proposizione:

Caratterizzazione delle coppie di Goldbach formate da spazi di T_k

Siano 2n \gt 4 un numero pari, e k il relativo ordine di validità. Allora, dati due interi positivi p e q, le seguenti condizioni sono equivalenti:

  1. (p, q) è una coppia di Goldbach per 2n formata da spazi di T_k
  2. 1 \lt p \lt 2n - 1;
    \begin{cases} p \mathrm{\ mod\ } p_1 \neq 0 \\ p \mathrm{\ mod\ } p_2 \notin \{0, 2n \mathrm{\ mod\ } p_2\} \\ \ldots \\ p \mathrm{\ mod\ } p_k \notin \{0, 2n \mathrm{\ mod\ } p_k\} \end{cases}

    q = 2n - p.

Dimostriamo che 1. \Rightarrow 2., ossia che, se (p, q) è una coppia di Goldbach per 2n formata da spazi di T_k, allora:

  1. 1 \lt p \lt 2n - 1
  2. \begin{cases} p \mathrm{\ mod\ } p_1 \neq 0 \\ p \mathrm{\ mod\ } p_2 \notin \{0, 2n \mathrm{\ mod\ } p_2\} \\ \ldots \\ p \mathrm{\ mod\ } p_k \notin \{0, 2n \mathrm{\ mod\ } p_k\} \end{cases}
  3. q = 2n - p

Innanzitutto p non può essere 1, altrimenti non sarebbe primo, quindi non potrebbe formare una coppia di Goldbach. Essendo per ipotesi un intero positivo, deve essere quindi p \gt 1. Lo stesso ragionamento si può ripetere per q, per cui anche q \gt 1. Ma, per l’equazione di Goldbach, p + q = 2n, per cui p = 2n - q, ed essendo q \gt 1 si ha che p \lt 2n - 1. Così abbiamo dimostrato la (a).
Si è visto che la (b) equivale a porre che p e q = 2n - p siano entrambi spazi di T_k, e questo è vero nella 1. dell’enunciato, quindi anche la (b) è dimostrata. Infine la (c) è una scrittura diversa dell’equazione di Goldbach.

Dimostriamo ora il viceversa, 2. \Rightarrow 1. cioè che se valgono (a), (b) e (c), allora (p, q) è una coppia di Goldbach per 2n formata da spazi di T_k, ossia:

  1. p e q sono spazi di T_k;
  2. p e q sono primi;
  3. p + q = 2n.

La (i) segue direttamente dalla (b), come si è visto prima. Per quanto riguarda la (ii), per la Proprietà T.1 (Spazi e numeri primi) basta dimostrare che p e q rientrano nell’intervallo di validità, cioè che p_k + 1 \leq p \leq p_k^2 - 1. Questo è vero perché:

  • Il più piccolo spazio di T_k maggiore di 1 è p_k + 1. Infatti, se m è un intero compreso tra 2 e p_k, tutti i suoi fattori primi, essendo minori o uguali ad m, sono minori o uguali a p_k, quindi coincidono con uno dei primi p_1, \ldots, p_k, che sono le componenti di T_k. Quindi m, essendo divisibile per una delle componenti del tratteggio, non è uno spazio. Avendo supposto che 2 \leq m \leq p_k, nessuno di questi m può essere uno spazio, per cui il più piccolo spazio maggiore di 1 è maggiore o uguale a p_k + 1.
  • Essendo k l’ordine di validità relativo a 2n, per definizione si ha che 2n \leq p_k^2 - 1; quindi, essendo per la (a) p \lt 2n - 1 \leq 2n, anche p \leq p_k^2 - 1.

Infine, la (iii) segue direttamente dalla (c).

Per capire meglio la formula (5), conviene scomporre le condizioni del tipo p \mathrm{\ mod\ } p_i \notin \{0, 2n \mathrm{\ mod\ } p_i\} nelle due condizioni p \mathrm{\ mod\ } p_i \neq 0 e p \mathrm{\ mod\ } p_i \neq 2n \mathrm{\ mod\ } p_i, ed ordinare le condizioni così ottenute come segue:

  • p \mathrm{\ mod\ } p_1 \neq 0
  • p \mathrm{\ mod\ } p_2 \neq 0
  • \ldots
  • p \mathrm{\ mod\ } p_k \neq 0
  • p \mathrm{\ mod\ } p_2 \neq 2n \mathrm{\ mod\ } p_2
  • \ldots
  • p \mathrm{\ mod\ } p_k \neq 2n \mathrm{\ mod\ } p_k

Le prime k condizioni dicono che p non deve essere divisibile per p_1, \ldots, p_k, ossia che deve essere uno spazio del tratteggio T_k. A titolo di esempio consideriamo, per k = 4, il tratteggio seguente:

Figura 2: Tratteggio T_4

Con riferimento alla rappresentazione di questo tratteggio, i valori di p che soddisfano le prime k condizioni corrispondono alle colonne che non contengono nessun trattino. Questo accade perché su ciascuna riga si riporta un trattino in corrispondenza dei valori di p che non soddisfano ciascuna condizione: in generale, sulla riga i vi è un trattino in corrispondenza delle colonne p tali che p \mathrm{\ mod\ } p_i = 0, che è l’opposto di p \mathrm{\ mod\ } p_i \neq 0. Viceversa, quindi, le colonne che non hanno un trattino sulla riga i sono quelle che soddisfano l’i-esima condizione, ossia tali che p \mathrm{\ mod\ } p_i \neq 0. Di conseguenza, se una colonna non contiene nessun trattino, su nessuna riga, vuol dire che tale colonna rispetta tutte le prime k condizioni, ossia, per definizione, è uno spazio.
Lo stesso ragionamento può essere esteso alle condizioni rimanenti; questo passaggio, che non fa parte della costruzione dei tratteggi lineari classici, ci serve per passare da T_k alla nuova tipologia di tratteggio che ci serve per proseguire. Associando la condizione p \mathrm{\ mod\ } p_i \neq 2n \mathrm{\ mod\ } p_i alla riga i, per i = 2, \ldots, k, su ciascuna riga è possibile inserire un trattino in corrispondenza delle colonne per cui la corrispondente condizione non è soddisfatta (sempre se la cella così individuata non contiene già un trattino: in questo caso si lascerà il trattino esistente). Quindi sulla seconda riga si inserirà un trattino in corrispondenza delle colonne p tali che p \mathrm{\ mod\ } p_2 = 2n \mathrm{\ mod\ } p_2, e si continuerà così fino alla riga k, dove si inserirà un trattino in corrispondenza delle colonne p tali che p \mathrm{\ mod\ } p_k = 2n \mathrm{\ mod\ } p_k, aggiungendo di volta in volta un trattino solo se non ne è già presente uno. Ad esempio, se 2n \mathrm{\ mod\ } p_i è 1 per i = 2, 0 per i = 3 e 2 per i = 4, si otterrà il seguente tratteggio, che chiameremo U:

Figura 3: Un doppio tratteggio basato sul tratteggio T_4

Si può notare che, essendo 2n \mathrm{\ mod\ } p_3 = 0, non è stato aggiunto nessun trattino sulla riga 3 rispetto al tratteggio di partenza T_k, infatti quest’ultimo aveva già i trattini della terza riga in corrispondenza delle colonne p tali che p \mathrm{\ mod\ } p_3 = 0 = 2n \mathrm{\ mod\ } p_3. Confrontando la rappresentazione del tratteggio U con quella di T_k, possiamo dire che il nuovo tratteggio per alcune righe (la riga 1 e la riga 3) coincide con T_k, mentre sulle altre righe (2 e 4) ha il doppio dei trattini (più precisamente, considerando un insieme di colonne consecutive la cui cardinalità sia multipla della componente associata alla riga, U ha il doppio dei trattini che ha T_k nelle stesse colonne). Per questo motivo chiameremo U doppio tratteggio lineare, o semplicemente doppio tratteggio. La funzione matematica che esprime U è la seguente:

U(i, x) := \begin{cases} 2x & \text{ se } i = 1 \\ 1 + 3 \left \lfloor \frac{x}{2} \right \rfloor & \text{ se } i = 2 \text{ e } x \mathrm{\ mod\ } 2 = 1 \\ 3 \frac{x}{2} & \text{ se } i = 2 \text{ e } x \mathrm{\ mod\ } 2 = 0 \\ 5x & \text{ se } i = 3 \\ 2 + 7 \left \lfloor \frac{x}{2} \right \rfloor & \text{ se } i = 4 \text{ e } x \mathrm{\ mod\ } 2 = 1 \\ 7 \frac{x}{2} & \text{ se } i = 4 \text{ e } x \mathrm{\ mod\ } 2 = 0 \end{cases} \tag{6}

In generale, partendo dal tratteggio T_k e posto r_i := 2n \mathrm{\ mod\ } p_i per i = 1, \ldots, k, si ottiene un tratteggio che chiameremo T_k^{(r_1, \ldots, r_k)}, dato dalla seguente funzione:

T_k^{(r_1, \ldots, r_k)}(i, x) := \begin{cases} p_i x & \text{ se } r_i = 0 \\ r_i + p_i \left \lfloor \frac{x}{2} \right \rfloor & \text{ se } r_i \neq 0 \text{ e } x \mathrm{\ mod\ } 2 = 1 \\ p_i \frac{x}{2} & \text{ se } r_i \neq 0 \text{ e } x \mathrm{\ mod\ } 2 = 0 \end{cases} \tag{7}

Si può verificare che la (7) coincide con la (6) per k = 4 ed (r_1, \ldots, r_k) = (r_1, r_2, r_3, r_4) = (0, 1, 0, 2), che sono le ipotesi del nostro esempio.

Ancora più in generale, se al posto di T_k si considera un generico tratteggio lineare T, si ottiene la seguente definizione di doppio tratteggio, che riprende ed estende le Definizioni T.1 (Tratteggio) e T.2 (Tratteggio lineare):

Doppio tratteggio lineare

Sia T = (n_1, \ldots, n_k) un tratteggio lineare di ordine k con insieme degli indici I. Siano r_1, \ldots, r_k degli interi tali che, per ogni i = 1, \ldots, k, 0 \leq r_i \lt n_i. Si definisce allora il tratteggio T^{(r_1, \ldots, r_k)}: I \times \mathbb{N} \Rightarrow \mathbb{N} tale che:

T^{(r_1, \ldots, r_k)}(i, x) := \begin{cases} n_i x & \text{ se } r_i = 0 \\ r_i + n_i \left \lfloor \frac{x}{2} \right \rfloor & \text{ se } r_i \neq 0 \text{ e } x \mathrm{\ mod\ } 2 = 1 \\ n_i \frac{x}{2} & \text{ se } r_i \neq 0 \text{ e } x \mathrm{\ mod\ } 2 = 0 \end{cases}

Esso si dice doppio tratteggio lineare (o semplicemente doppio tratteggio) basato su T, con spiazzamenti r_1, \ldots, r_k.

Utilizzando la definizione di doppio tratteggio, si può riscrivere la Proposizione L.1 (Caratterizzazione delle coppie di Goldbach formate da spazi di T_k) nella forma seguente:

Caratterizzazione delle coppie di Goldbach formate da spazi di T_k

Siano 2n \gt 4 un numero pari, e k il relativo ordine di validità. Allora, dati due interi positivi p e q, le seguenti condizioni sono equivalenti:

  1. (p, q) è una coppia di Goldbach per 2n formata da spazi di T_k
  2. 1 \lt p \lt 2n; p è uno spazio del doppio tratteggio T_k^{(0, r_2, \ldots, r_k)}, con r_i := 2n \mathrm{\ mod\ } p_i per ogni i = 2, \ldots, k; q = 2n - p.

Utilizzando questa Proposizione è possibile riscrivere l’Ipotesi H.1 in questa nuova forma:

Ipotesi di esistenza di coppie di Goldbach basata sui tratteggi (seconda forma)

Sia 2n \gt 4 un numero pari, e sia k il relativo ordine di validità. Sia r_i := 2n \mathrm{\ mod\ } p_i, per ogni i = 2, \ldots, k. Allora il doppio tratteggio T_k^{(0, r_2, \ldots, r_k)} contiene almeno uno spazio p tale che 1 \lt p \lt 2n.

Avendo eliminato completamente la variabile q, in questa formulazione dell’Ipotesi H.1 non si parla esplicitamente di coppie di Goldbach. Tuttavia, una volta trovato p, basta porre q := 2n - p per ottenere immediatamente, per la Proposizione L.1 (seconda forma), che (p, q) è una coppia di Goldbach.

Siamo giunti così ad un problema fondamentale: come ci si può assicurare che un tratteggio (in questo caso un doppio tratteggio) contenga almeno uno spazio in un intervallo prefissato?
Un semplice metodo per farlo consiste nel considerare la massima distanza tra due spazi consecutivi del tratteggio. Infatti, se chiamiamo questo numero d, cioè se due spazi consecutivi del tratteggio possono avere una distanza massima pari a d, non dobbiamo far altro che confrontare d con l’ampiezza A dell’intervallo, estremi inclusi:

Massima distanza tra spazi ed esistenza di spazi in un intervallo

Sia I un intervallo di ampiezza A, estremi inclusi. Sia d la massima distanza tra due spazi consecutivi di un tratteggio T. Se d \leq A, allora I contiene almeno uno spazio di T.

Indichiamo con h l’estremo inferiore dell’intervallo. L’estremo superiore allora è pari ad h + A - 1. Consideriamo l’ultimo spazio che precede l’estremo inferiore, ed il primo spazio che segue l’estremo superiore; chiamiamo questi spazi rispettivamente s_1 e s_2. Essi distano almeno A + 1; infatti, per costruzione s_1 \leq h - 1 ed s_2 \geq h + A, quindi s_2 - s_1 \geq (h + A) - (h - 1) = A + 1. Se supponessimo che I non contenga spazi, per costruzione s_1 ed s_2 sarebbero due spazi consecutivi; ma il fatto che distano almeno A + 1 sarebbe in contrasto col fatto che la massima distanza tra spazi consecutivi è al massimo d \leq A. Quindi l’ipotesi che l’intervallo non contenga spazi è errata.

Nel caso dell’Ipotesi H.1 (seconda forma), l’intervallo in questione è [2, 2n - 1], la cui ampiezza è (2n - 1) - 2 + 1 = 2n - 2. Quindi, se si dimostra che la distanza massima tra spazi consecutivi del tratteggio T_k^{(0, r_2, \ldots, r_k)} è minore o uguale a 2n - 2, allora certamente esiste uno spazio p nell’intervallo [2, 2n - 1], ossia tale che 1 \lt p \lt 2n; per cui l’Ipotesi sarebbe dimostrata. Questa osservazione permette di formulare un’ulteriore Ipotesi:

Ipotesi di esistenza di coppie di Goldbach basata sulla massima distanza tra spazi

Sia 2n \gt 4 un numero pari, e sia k il relativo ordine di validità. Sia r_i := 2n \mathrm{\ mod\ } p_i, per ogni i = 2, \ldots, k. Allora la massima distanza tra due spazi consecutivi del doppio tratteggio T_k^{(0, r_2, \ldots, r_k)} è minore o uguale a 2n - 2.

Un difetto di questa Ipotesi è che il numero 2n - 2, col quale va confrontata la distanza massima tra spazi consecutivi, dipende da n, mentre il tratteggio T_k^{(0, r_2, \ldots, r_k)} dipende da k (e solo indirettamente da n, perché k a sua volta è definito partendo da n). Sarebbe più semplice sostituire 2n - 2 con un’espressione che dipende da k, in modo da poter studiare più facilmente cosa succede al variare di k. Questo è possibile ricordando che k è stato definito (Definizione L.2) come il più piccolo intero tale che p_{k+1}^2 \gt 2n. Ciò significa che p_k^2 \leq 2n (altrimenti la relazione che definisce k sarebbe soddisfatta anche da k-1 e quindi verrebbe meno la caratteristica di k di essere il più piccolo intero che la soddisfa), da cui p_k^2 - 2 \leq 2n - 2. Quindi, se si dimostra che la massima distanza tra due spazi consecutivi del doppio tratteggio T_k^{(0, r_2, \ldots, r_k)} è minore o uguale a p_k^2 - 2, automaticamente sarà anche minore o uguale a 2n - 2. Perciò nell’Ipotesi H.1.MDS si può sostituire 2n - 2 con p_k^2 - 2, ottenendo una nuova Ipotesi leggermente più forte, ma più indicata per studiare cosa succede al variare di k:

Ipotesi di esistenza di coppie di Goldbach basata sulla massima distanza tra spazi (versione più forte)

Sia 2n \gt 4 un numero pari, e sia k il relativo ordine di validità. Sia r_i := 2n \mathrm{\ mod\ } p_i, per ogni i = 2, \ldots, k. Allora la massima distanza tra due spazi consecutivi del doppio tratteggio T_k^{(0, r_2, \ldots, r_k)} è minore o uguale a p_k^2 - 2.

A questo punto la questione si può porre in termini più generali, cercando di capire come varia la massima distanza tra due spazi consecutivi di un doppio tratteggio lineare al variare dell’ordine k, dimostrando magari che questa distanza non dipende dagli spiazzamenti r_2, \ldots, r_k, ma solo da k.

Dato che il concetto di massima distanza tra due spazi consecutivi di un tratteggio ricorrerà spesso, conviene definire un simbolo per scriverlo in maniera compatta:

Massima distanza tra spazi consecutivi di un tratteggio

Sia T un tratteggio. La massima distanza tra due spazi consecutivi di T sarà indicata col simbolo \mathrm{MDS}(T).

Ci sono essenzialmente due approcci per studiare la massima distanza tra due spazi consecutivi di un tratteggio: il calcolo esatto e il calcolo approssimato.

Per quanto riguarda il calcolo esatto, abbiamo sviluppato un programma che fornisce il risultato per qualunque tratteggio o doppio tratteggio lineare (a patto di avere abbastanza tempo a disposizione: il tempo di esecuzione è proporzionale alla lunghezza del periodo del tratteggio).

Per quanto riguarda il calcolo approssimato, come abbiamo visto ci interessa trovare una maggiorazione della massima distanza tra spazi consecutivi. Abbiamo approfondito questo argomento in una pagina dedicata.

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