Le proprietà degli spazi dei tratteggi di fattorizzazione possono essere sfruttate per impostare una particolare strategia dimostrativa, che può utilizzare non solo la teoria dei tratteggi, ma anche i teoremi noti sui numeri primi.
Come punto di partenza per la dimostrazione, ad esempio, è possibile sfruttare il postulato di Bertrand, secondo il quale esiste un numero primo p compreso tra n + 1 e 2n. Infatti questo numero primo, per la Proprietà L.F.3 (Spazi primi nella parte destra del tratteggio di fattorizzazione di un numero pari), è anche uno spazio; per cui dalla parte opposta del tratteggio, in posizione simmetrica, ci sarà a sua volta un altro spazio, per la Proprietà L.F.2 (Simmetria di un tratteggio di fattorizzazione).
Abbiamo così ottenuto una coppia di spazi, uno dei quali è un numero primo. Sulla base di questo si dimostra il seguente risultato, che abbiamo chiamato Teorema di Goldbach-Bertrand, dato che ha una formulazione simile alla congettura di Goldbach, e la dimostrazione impiega il postulato di Bertrand. Si tratta comunque di un nome provvisorio, perché è possibile che in futuro questo Teorema sia soppiantato da qualche risultato migliore, che meriterebbe maggiormente un nome così importante.
Teorema di Goldbach-Bertrand
Ogni numero pari 2n \gt 2 si può scrivere come somma di due numeri interi, di cui uno è primo e l’altro è coprimo con 2n.
Per il postulato di Bertrand, esiste sicuramente un primo p, compreso tra n + 1 e 2n.
Dato che p è un numero primo, per la Proprietà L.F.3 (Spazi primi nella parte destra del tratteggio di fattorizzazione di un numero pari) è anche uno spazio di T;
Essendo il tratteggio T simmetrico per la Proprietà L.F.2 (Simmetria di un tratteggio di fattorizzazione), anche q := 2n - p è a sua volta un altro spazio;
Dato che q è uno spazio, per definizione non è divisibile per nessuna delle componenti del tratteggio;
Quindi, q non è divisibile per nessuno dei fattori primi di 2n, ossia, per definizione, q è coprimo con 2n;
Inoltre, si ha p + q = p + (2n - p) = 2n, ossia p + q = 2n.
Riassumendo, abbiamo trovato due numeri p e q, di cui p è primo, q è coprimo con 2n, e la loro somma è 2n, che era la tesi da dimostrare.
Il Teorema di Goldbach-Bertrand, a differenza della congettura di Goldbach, non prende in considerazione la possibilità di esprimere un numero pari 2n come somma di due numeri primi identici, ossia 2n = n + n = p + p, con p primo. Infatti, per il Teorema di Goldbach-Bertrand, uno dei due addendi deve essere primo, e l’altro deve essere coprimo con 2n. Ma se entrambi gli addendi fossero uguali ad uno stesso primo p, allora questo p dovrebbe essere anche coprimo con 2n, e questo non è possibile. Infatti, se fosse 2n = p + p, allora 2n = 2p, quindi \mathrm{MCD}(2n, p) = \mathrm{MCD}(2p, p) = p \gt 1, mentre dovrebbe essere \mathrm{MCD}(2n, p) = 1 se 2n e p fossero coprimi.
A questo punto ci si potrebbe chiedere: dato che le scomposizioni del tipo 2n = p + p non sono prese in considerazione dal Teorema di Goldbach-Bertrand, cosa succede per i numeri pari che per la congettura di Goldbach ammettono solamente questo tipo di scomposizione, cioè 4 = 2 + 2 e 6 = 3 + 3? Questa domanda ci porta ad un’altra differenza tra il Teorema di Goldbach-Bertrand e la congettura di Goldbach: il numero coprimo può anche essere 1. Infatti nel caso di 4 e 6 valgono le scomposizioni 4 = 3 + 1 e 6 = 5 + 1 che rientrano nei casi previsti dal Teorema di Goldbach-Bertrand, pur non essendo accettabili per la congettura di Goldbach. Infatti in entrambe le scomposizioni, il primo addendo è un numero primo ed il secondo, pari ad 1, è coprimo sia con 4 che con 6 (in generale 1 è coprimo con qualunque numero intero).
Quindi, ricapitolando, nel Teorema di Goldbach-Bertrand:
- Il numero primo ed il numero coprimo che costituiscono la somma non possono essere identici
- Il numero coprimo può essere 1
Si può anche osservare che il numero coprimo deve essere dispari, in quanto essendo appunto coprimo con 2n non può avere 2 come fattore primo.
Ringraziamo il nostro lettore Ultima per gli spunti che ci hanno consentito di scrivere questa osservazione ed il seguente esempio.
A titolo di esempio, vediamo quali scomposizioni del numero 14 sono previste dal Teorema di Goldbach-Bertrand.
Dato che una delle condizioni è che il primo addendo deve essere un numero primo, vediamo innanzitutto quali sono le scomposizioni di 14 che rispettano questa condizione (il numero primo che costituisce il primo addendo è in grassetto):
Ora passiamo in rassegna ciascuna di queste scomposizioni, per verificare quali soddisfano anche l’altra condizione, ossia quali hanno il secondo addendo coprimo con 14. I secondi addendi sono rispettivamente 12, 11, 9, 7, 3 ed 1, ma tra questi solo 11, 9, 3 e 1 sono coprimi con 14; gli altri due numeri non lo sono in quanto \mathrm{MCD}(12, 14) = 2 \gt 1 e \mathrm{MCD}(7, 14) = 7 \gt 1. Restano quindi le seguenti scomposizioni che rispettano l’enunciato del Teorema di Goldbach-Bertrand:
Come abbiamo osservato prima, non compare la scomposizione 14 = 7 + 7, anche se è prevista dalla congettura di Goldbach, mentre compaiono le scomposizioni 14 = 5 + 9 e 14 = 13 + 1 che non sono previste dalla congettura.
Naturalmente, sia nella congettura di Goldbach che nel Teorema di Goldbach-Bertrand, una delle due scomposizioni 14 = 3 + 11 e 14 = 11 + 3 può essere tolta, perché esse differiscono solamente per l’ordine degli addendi.
Il Teorema di Goldbach-Bertrand è un punto di partenza, ma è ancora lontano dal traguardo finale. Per arrivare alla dimostrazione della congettura di Goldbach vera e propria, bisognerà trovare una condizione che permetta di scegliere p in modo che sia primo anche 2n - p, ossia il numero della colonna che si trova in posizione simmetrica rispetto alla colonna p.
Un possibile spunto per proseguire è chiederci se esiste una regola su come sono fatti i nostri potenziali 2n - p, che chiameremo q, di cui conosciamo finora alcune caratteristiche:
- q \leq n;
- q è uno spazio del tratteggio di fattorizzazione di 2n;
- q è sicuramente dispari, perché, essendo 2 una componente del tratteggio, se fosse pari non sarebbe uno spazio.
Questa strategia dimostrativa è rappresentata nell’immagine seguente:
Il passo successivo è stringere il cerchio: il teorema di Goldbach-Bertrand ci assicura che esiste almeno una coppia (p, q) in cui p è primo e q è coprimo con 2n. Quindi, per arrivare alla congettura di Goldbach, bisogna dimostrare che:
- Quando la coppia (p, q) è unica, q è primo;
- Quando esistono diverse coppie (p, q), ne esiste almeno una in cui q è primo.
Le indagini in tal senso sono tuttora in corso, e non sono ancora giunte a una conclusione.